30 mars, Attn : vendredi 13:30 dans D7-2007
Madjid Allili, Bishop's University
Descripteur topologique pour la représentation de formes basé sur la théorie de Morse
Résumé : Nous proposons un descripteur topologique pour la caractérisation des formes approprié pour tout ensemble multi-dimensionnel de données pouvant se modéliser comme une variété de Morse. La caractérisation est obtenue pour toutes les paires (M, f), où M est une variété lisse, fermée, sans frontière et f est une fonction de Morse définie sur M. Plus précisément, ce descripteur caractérise la topologie de toutes les paires d’ensembles de niveaux (My,Mx) de f, où Ma = f^{-1}(-infini, a], pour tout réel a. La théorie de Morse classique est utilisée pour établir un lien entre la topologie d’une paire d’ensembles de niveaux de f et les points critiques de f situés entre ces deux niveaux. Finalement, des résultats expérimentaux sont présentés pour démontrer l’importance et la validité de ce descripteur.

16 mars, Attn : vendredi 14:30 dans D7-2007
Basak Gürel, CRM
Periodic orbits of Hamiltonian dynamical systems and the  Seifert conjecture
Abstract: The Seifert conjecture is the question due to Seifert (1950) whether or not every smooth non-vanishing vector field on the 3-dimensional  sphere has a periodic orbit. This problem led to many remarkable results concerning a similar question for other manifolds or other classes of vector fields (e.g., finitely smooth). However, the original Seifert conjecture was finally settled only in 1994 by Krystyna Kuperberg when she found a "counterexample" to the Seifert conjecture.
    In a similar vein, the "Hamiltonian Seifert conjecture" is the question whether or not there exists a proper function on R^{2n} whose Hamiltonian flow has no periodic orbits on at least one regular level set. An essential difference of the Hamiltonian case from the general one is manifested by the almost existence theorem of Hofer-Zehnder and Struwe, which asserts that almost all regular levels of a proper Hamiltonian must carry periodic orbits. In other words, regular levels without periodic orbits are exceptional in the sense of measure theory.
    In this talk, I will discuss the "counterexamples" to the Hamiltonian Seifert conjecture, which have been known since 1995, and show how they fit into the general context of the Seifert conjecture.

19 février
Tomasz kaczynski, Université de Sherbrooke
Formule d'Euler–Maxwell–Morse pour une région d’un espace euclidien, sa démonstration simple par le degré de Brouwer,  et son utilité en vision par ordinateur
Résumé : Dans son article "On Hills and Dales" (1870) Maxwell a observé quelques identités, vérifiées par des éléments de la topographie du globe terrestre, qu’on peut résumer par la formule
Cette formule est entrée dans le langage en tant que "Formule d’Euler" dû probablement à son rapport à la caractéristique d’Euler, rapport qui devient transparent dans sa généralisation en théorie de Morse. Dans la vision artificielle, la formule d’Euler est utilisée comme un test de qualité auquel on soumet le modèle numérique d’une surface. Dans la pratique, on travaille avec une fonction définie dans une région (disons, rectangulaire) du plan. Pour appliquer la formule d’Euler, valable pour la sphère, l’argument standard est basé sur la compactification du plan par un point à l’infini. Il est naturel de se demander s’il est nécessaire de chercher de l'aide dans la théorie des variétés différentiables, pour démontrer une loi concernant une région simple du plan euclidien. La réponse est non, on peut produire une démonstration très simple de la formule d’Euler dans ce contexte (et en dimension arbitraire), en appliquant le degré topologique. De plus, le degré de Brouwer ne repose pas sur les hypothèses fortes de la théorie de Morse qui imposent que les points critiques soient tous isolés et non dégénérés. Il est donc plus proche des applications à l’analyse des données numériques discrètes. Une partie de cet exposé consiste à donner un aperçu sur la théorie du degré topologique.

14 février, Attn : changement - mercredi 14:30 dans D7-2021
Jean-Philippe Lessard, Rutgers University et Georgia Tech
Solutions chaotiques tressées pour l'équation de Swift-Hohenberg
Résumé : Dans cet exposé, nous allons démontrer l'existence du chaos au sens de la dynamique symbolique pour l'EDO de Swift-Hohenberg. Pour ce faire nous introduirons tout d'abord une méthode numérique pour extraire rigoureusement un squelette de solutions périodiques. Par la suite, nous utiliserons l'indice de Conley et des méthodes variationnelles pour forcer l'existence d'un nombre infini de solutions périodiques tressées dans le squelette.

5 février
Sara Derivière, Université de Sherbrooke
Discrete dynamical system framework for construction of connections between critical regions in lattice height data
(présentation en français)
Abstract: We define a new mathematical model for the topological study of lattice height data. A discrete multivalued dynamical system framework is used to establish discrete analogies of a Morse function, its gradient field, and its stable and unstable manifolds in order to interpret functions numerically given on finite sets of pixels. We present efficient algorithms detecting critical components of a height function f and displaying connections between them by means of a graph, called the Morse Connections Graph whose nodes represent the critical components of f and edges show the existence of connecting trajectories between nodes. This graph encodes efficiently the topological structure of the data and makes it easy to manipulate for subsequent processing.
 
22 janvier
Marc Ethier, Université de Sherbrooke
Analyse de schémas d'intégration en temps pour le modèle  bidomaine en électrophysiologie
Résumé : Le modèle bidomaine est un système d'équations aux dérivées partielles fréquemment utilisé pour modéliser la propagation d'ondes de potentiel électrique dans le muscle cardiaque. Il consiste en une équation  parabolique et une équation elliptique, auxquelles est couplé un système d'équations différentielles pour modéliser la concentration des ions qui sont  responsables de l'activation électrique des tissus. La solution de ce système  présente de nombreux défis. Le but de ce séminaire est de présenter la recherche  effectuée dans le cadre de la thèse de maîtrise du premier auteur, qui a  consisté à comparer différents schémas d'intégration en temps utilisés pour  obtenir une solution numérique aux équations du modèle bidomaine. La stabilité de  ces schémas, sujette à des conditions sur la taille du pas de temps, a  été prouvée à l'aide de techniques d'analyse numérique, et les solutions numériques obtenues ont été comparées pour quelques cas tests donnés. Nos  résultats nous ont permis de conclure que bien que des méthodes explicites soient  fréquemment utilisées pour résoudre le modèle bidomaine, il est préférable de  passer à des méthodes implicites-explicites d'ordre supérieur. (Travail en collaboration avec Yves Bourgault, Université d'Ottawa)